Народ, вы чего?
Всё же очень просто.
Каждый раз перенося единицу на несколько разрядов вниз, вы отнимаете от числа нечто, делящееся на 9.
Перенесете десяток вниз - отнимете 10-1 = 9
Перенесете тысячу вниз - отнимете 1000 - 1 = 999 = 111 * 9
и так далее.
В результате, как по частям не переноси и не складывай, останется модуль от деления числа на 9 (если число изначально делилось на 9 - то 9). Вот и всё.